Formoptimierung

Von Zugdreiecken und Zwergradien

| Autor / Redakteur: Dr. Iwiza Tesari, Prof. Dr. Claus Mattheck / Monika Zwettler

Kerben sind Schwachstellen. Mit einer Formgebung nach dem Vorbild der Natur können sie aber so optimiert werden, dass sie weniger hohe Spannungskonzentrationen bewirken.
Kerben sind Schwachstellen. Mit einer Formgebung nach dem Vorbild der Natur können sie aber so optimiert werden, dass sie weniger hohe Spannungskonzentrationen bewirken. (Bild: KIT)

Kerben sind Schwachstellen, an denen ein Bauteil nicht selten versagt. Durch eine Formgebung nach dem Vorbild der Natur können Kerben so formoptimiert werden, dass sie weniger hohe Spannungskonzentrationen bewirken.

Mit der Methode der Zugdreiecke (siehe „Die Körpersprache der Bauteile“ Mattheck, 2017) haben wir ein einfaches Denkwerkzeug bereitgestellt, das es erlaubt, eine Formoptimierung von Kerben ohne Computer vorzunehmen. Ausgehend vom unteren 45°-Winkel kleben wir ein Zugdreieck in die scharfe Ecke (Abb. 1). Damit entsteht zwar weiter oben eine neue Kerbe, diese ist aber schon stumpfer und damit weniger gefährlich. Diese Kerbe überbrücken wir wieder symmetrisch, immer von der Mitte des unteren Zugdreieckes ausgehend und so weiter. Meist reichen zwei bis drei Zugdreiecke. Die verbleibenden stumpfen Ecken werden mit Kreisradien ausgerundet, wobei die Ausrundung der letzten Ecke in vielen Fällen aus praktischen Gründen nicht erforderlich ist.

Der Verzicht auf die letzte Verrundung hinterlässt eine „scharfe Ecke“ am Fuße der Zugdreieckskontur, die bei so manchem alten Hasen in der Industrie zunächst ein Stirnrunzeln hervorruft.

Nach unserem heutigen Wissenstand gibt es fertigungsbedingt jedoch keine ideal scharfen Ecken und wir zeigen hier mittels Finite-Element-Analysen, welchen positiven Effekt bereits die kleine Ausrundung der Ecke durch das Werkzeug hat. Ohne Verrundung am Übergang in die Schulter stellt der scharfe Knick am Ende der Zugdreieckskerbe theoretisch
eine Singularität dar. Je feiner die Vernetzung ist, umso höhere Spannungsspitzen werden dort lokal errechnet, im restlichen Modell bleiben die Spannungen gleich (Abb. 2). In den Abbildungen sind jeweils die Von-Mises-Spannungen dargestellt.

Ideal scharfe Ecken sind fertigungsbedingt nicht zu erreichen

Die Höhe der Spannungen in einem FEM-Netz mit scharfer Ecke hat also mit der Realität wenig zu tun, da man ideal scharfe Ecken nicht fertigen kann. Wir betrachten nun den Einfluss kleiner fertigungsbedingter Ausrundungen der „scharfen Ecke“ am Ende der Zugdreieckskontur. Rundet man im Modell aus Abb. 1 die Ecke am unteren Zugdreieck mit einem kleinen Radius (Re) aus, wird der seitliche Bauraum geringfügig größer, bei Re/d=0,02 um ca. 4 % und bei
Re/d=0,05 um ca. 10 %. Dabei ergeben sich reduzierte Spannungsspitzen (Abb. 3).

  • Aus sehr kleinen Bauräumen (Abb. 4, grüne Kurve,
    B/d=0,1) mit winzigen Endverrundungen resultieren hohe Spannungen, die bei einem Verhältnis Re/B unterhalb von ca. 0,13 die Spannungen der Viertelkreiskerbe gleichen Bauraumes übersteigen. Mit zunehmender Größe der Endverrundung sinkt die Spannung auf ein Minimum, um dann wieder leicht anzusteigen.
  • Bei etwas größerem Bauraum (Abb. 4, orange Kurve,
    B/d=0,2) ist das qualitativ gleiche Verhalten zu beobachten, wobei die Spannungen der Zugdreiecke die der entsprechenden Viertelkreiskerbe erst bei einem Verhältnis Re/B kleiner als ca. 0,06 überschreiten.
  • Bei noch größerem Bauraum (Abb. 4, graue Kurve,
    B/d=0,4) steigt die Spannung mit größer werdender End-
    verrundung leicht an, bleibt im untersuchten Bereich aber immer kleiner als die Spannung der entsprechenden Viertelkreiskerbe.

Abb. 5 zeigt exemplarisch zwei Randkonturen von Zugdreieckskerben (B/d=0,1) und deren Spannungen. Bei der kleinen Endverrundung (Re/B=0,3) befindet sich das Spannungsmaximum direkt an der Endverrundung. Bei größerer Endverrundung (Re/B=0,5) wandert es nach oben zum dünnen Schaft hin. Der Grund dafür ist, dass, um das Vergrößern des Endverrundungsradius zu kompensieren, die anderen Verrundungsradien der Zugdreiecke kleiner werden müssen. Damit bleibt der seitliche Kerbbauraum insgesamt gleich.

Einfluss der Belastung und Geometrie auf die Kerbspannungen

Nicht zuletzt haben auch die Art der Belastung sowie die Modellquerschnittsgeometrie Einfluss auf die Höhe der Kerbspannungen, wie in Abb. 6 dargestellt ist. Balkenschultern weisen höhere Kerbspannungen als Wellenschultern auf und Zug führt bei gleicher Geometrie zu höheren Kerbspannungen als Biegebelastung. Mit dem Balken unter Zug wurde also der schlimmste Fall mit den höchsten Kerbspannungen untersucht, die zuvor gemachten Aussagen bezüglich der Verrundungen am Zugdreieck gelten qualitativ für die anderen Fälle ebenfalls.

Kerbspannungen mit Zugdreiecken Herr werden

Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass sehr kleine Kerbbauräume generell kritisch zu sehen sind. Denn deren Kerbformzahl kann durch Formoptimierung zwar gesenkt werden, ist immer noch deutlich höher als 1. Wenn man nur kleine Zugdreiecke nimmt, bauen die natürlich die Kerbspannungen nicht genug ab. Im Extremfall ist es eine scharfe Ecke. Dies entspricht Zugdreiecken der Länge Null.

Ab einer hinreichenden Größe der Zugdreiecke bringt deren weitere Vergrößerung nicht mehr viel, da die Kerbformzahl dann nahe dem Wert 1 ist und prinzipiell nicht kleiner als 1 werden kann. Auch große Viertelkreiskerben bauen Kerbspannungen besser ab als kleine Viertelkreiskerben. Sie brauchen seitlich aber fast immer mehr Platz als Zugdreiecke und sind sie seitlich so klein wie Zugdreiecke, haben sie höhere Kerbspannungen.

Zugdreiecke in relativ kleinen Bauräumen erfordern hinreichend große Endverrundungen, entweder bereits im Entwurf oder fertigungsbedingt (z.B. Schneidenverrundung des Werkzeugs). Mit größeren Bauräumen, welche die Kerbformzahl näher an den Wert 1 bringen, wird dies weniger kritisch. Die Methode der Zugdreiecke ist mittlerweile in der Industrie weit verbreitet und auch Bestandteil einer Norm (DIN ISO 18459). (mz)

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* Dr. Iwiza Tesari und Prof. Dr. Claus Mattheck, Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Angewandte Materialien, Werkstoff- und Biomechanik (IAM-WBM)

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