Geometrische Produktspezifikationen ISO GPS: geometrisches Tolerieren verstehen

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In unserer dreiteiligen Serie „Praxis der geometrischen Tolerierung“ beleuchten wir „Symmetrieklassen“ und ihre Bedeutung für die Richtungs- und Ortstolerierung. Teil 1 zeigt die mathematischen Grundlagen.

Die Geometrie ist ein Merkmal eines Produkts und nimmt Einfluss auf seinen gesamten Lebenszyklus. Sie wird in der Konstruktionsphase festgelegt, bestimmt die nachfolgenden Fertigungs- und Prüfprozesse, hat einen erheblichen Einfluss auf die Kosten und ist letztlich für die Funktion, die Sicherheit und die Verfügbarkeit des Produkts verantwortlich. Dimensionieren und Tolerieren sind dabei essentielle Bestandteile des Konstruktionsprozesses und Tolerierungsfehler letztlich Konstruktionsfehler.

Viele Produktspezifikationen sind fehlerhaft

Richtungs-, insbesondere aber Ortsspezifikationen sind die mit Abstand wichtigsten geometrischen Merkmale zur Beschreibung funktioneller Anforderungen. Deren richtige Anwendung setzt ein fundamentales Verständnis der zugrunde liegenden Logik voraus. Weit mehr als die Hälfte aller Produktspezifikationen, insbesondere bei geometrisch komplexen Tolerierungsaufgaben oder Funktionsanforderungen, weisen auch heute noch elementare Fehler auf und sind somit letztlich unbrauchbar.

Für die korrekte Anwendung der Richtungs- und Ortstolerierung ist das Verständnis über die Zuordnung aller geometrischen Objekte zu einer Symmetrieklasse, die Reklassifizierung von Kollektionen beliebiger Objekte sowie Grundkenntnisse einer allgemeinen Theorie der relativen Anordnung geometrischer Objekte unverzichtbar. Teil 1 dieser dreiteiligen Serie behandelt die mathematischen Grundlagen der Klassifizierung aller geometrischen Objekte hinsichtlich ihrer Symmetrien.

ISO GPS

Warum Sie Geometrische Produktspezifikationen richtig anwenden sollten

Wie geometrische Objekte nach ISO GPS klassifiziert werden

Geometriemerkmale

Die Geometrie eines gefertigten Werkstücks (wirkliche Geometrie) weicht stets von seiner idealen Gestalt, wie sie beispielsweise in der technischen Produktdokumentation oder in digitalen CAD-Datensätzen definiert ist, ab. Eine Begrenzung dieser Abweichungen ist zur Sicherstellung funktioneller, in der Regel meist mechanischer, Anforderungen wie Montierbarkeit notwendig und wird durch Geometriemerkmale (auch als GPS-Merkmale oder geometrische Merkmale bezeichnet) festgelegt. Geometriemerkmale (GPS-Merkmale) ermöglichen allgemein die Festlegung (Definition) der Abmessungen und der Abweichungen eines Eingangsgeometrieelements (z. B. des tolerierten extrahierten oder des tolerierten extrahierten, gefilterten Geometrieelements) von seiner idealen Gestalt, seines Referenzgeometrieelements. Grundsätzlich werden dabei zwei Merkmalsfamilien unterschieden:

• Intrinsische Merkmale: (Größen-)Maßmerkmale, Formmerkmale sowie Merkmale der Oberflächentextur. Intrinsische Merkmale gehören zum geometrischen Objekt und verändern sich nicht, wenn sich das Objekt im Raum bewegt.

• Situationsmerkmale: Merkmale der Richtung, des Orts und des Laufs eines Geometrieelements relativ zu anderen geometrischen Elementen.

Geometrische Transformationen

Betrachtet man einen starren Körper als eine Menge von Punkten im euklidischen Raum, dann wird durch die in Bild 2 dargestellte Matrizenoperation (ausgedrückt in homogenen Koordinaten), jeder beliebige Punkt P des Körpers mit den Koordinaten (x, y, z), auf einen Bildpunkt P´ mit den Koordinaten (x', y', z'), abgebildet, wobei a₁₁, a₁₂, … , a₃₃ die Koeffizienten einer 3x3-Matrix A beschreiben und (x₀,y₀, z₀), der Translationsvektor ist (die Koordinaten beziehen sich auf ein rechtshändiges, orthogonales Koordinatensystem).

Für Betrachtungen in Zusammenhang mit der geometrischen Tolerierung (Orts-, Richtungs- und Lauftolerierung) ist nur die als Starrkörpertransformation bezeichnete nacheinander ausgeführte Rotation und Translation bedeutsam. Diese spezielle Form einer isometrischen Transformation ist dadurch gekennzeichnet, dass ein geometrisches Objekt (ein Körper) in eine kongruente Kopie desselben Objekts (Körpers) abgebildet wird. Damit die in Bild 2 dargestellte Matrizenoperation tatsächlich eine Starrkörpertransformation darstellt, muss die Matrix A mit A = (a_ij) i,j und a_i,jϵ ℝ, wobei i, j = 1, … , n (i = Zeileneintrag,j = Spalteneintrag) eine Rotations- bzw. Drehmatrix, d. h. eine reelle, orthogonale Matrix mit Determinante +1 sein.

Gruppen

Eine Menge G von Elementen, wie zum Beispiel Matrizen oder Vektoren, gemeinsam mit einer Verknüpfung, wie zum Beispiel die Matrizenmultiplikation oder die Vektoraddition, wird in der Mathematik als Gruppe bezeichnet, falls drei Axiome (Gruppenaxiome) erfüllt werden: die Assoziativität (kein Einfluss der Reihenfolge der Verknüpfung), die Umkehrbarkeit (Existenz eines inversen Elements) und die Identität (Existenz eines neutralen Elements).

Orthogonale (n x n)-Matrizen, deren Determinanten den Wert +1 aufweisen, mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung, bilden eine Gruppe, da sie die oben genannten Gruppenaxiome erfüllen. Sie werden als spezielle orthogonale Untergruppe  SO(n,ℝ) oder Drehgruppe bezeichnet, Von besonderer Bedeutung, u. a. in der Technik, ist dabei die Gruppe SO(3) aller Drehungen um eine durch den Koordinatenursprung verlaufende Achse im dreidimensionalen Raum. Auch n-dimensionale Vektoren mit reellen Koordinaten und der Vektoraddition als Verknüpfung bilden eine Gruppe im oben genannten Sinn. Von besonderer Bedeutung ist dabei der Vektorraum ℝ³, d. h. die Gruppe T(3) aller Vektoren (d_x, d_y, d_z)^T mit d_x, d_y, d_z ϵ ℝ, die eine Verschiebung im dreidimensionalen Raum kennzeichnen.

Da es möglich ist, aus zwei gegebenen Gruppen eine neue Gruppe zu konstruieren, kann die Gruppe der Starrkörpertransformation als semidirektes Produkt der Translationsgruppe T(3) und der Rotationsgruppe SO(3) beschrieben werden. Sie wird als spezielle euklidische Gruppe  SE(3) bezeichnet.

Symmetrie geometrischer Objekte und Automorphismengruppen

Unter einem Automorphismus versteht man in der Mathematik eine bijektive, lineare Abbildung eines mathematischen Objekts (z. B. einer Punktmenge) auf sich selbst. Angewandt auf geometrische Objekte bedeutet dies: Wird eine Punktmenge S im euklidischen Raum auf sich selbst abgebildet, d. h. bleibt die Punktmenge bezüglich einer gegebenen geometrischen Transformation invariant, dann existiert ein Automorphismus zwischen der Punktmenge und der geometrischen Transformation. Die Menge aller Automorphismen einer Struktur bzw. eines mathematischen Objekts (hier: eine Punktmenge S) zusammen mit der Verkettung von Funktionen (hier: die Abbildungsmatrizen für die Punktmenge) bildet eine Gruppe, die so genannte Automorphismengruppe der Struktur (der Punktmenge S), geschrieben als Aut(S), d. h. Aut(S) = {r ϵ  ℝ : r⦁S = S}. Aut(S) ist eine kontinuierliche Untergruppe der Gruppe der Starrkörpertransformation.

Betrachtet man beispielsweise eine abzubildende Punktmenge S im euklidischen Raum, mit S = {(x, y, z): x² + y² = 9}, d. h. einen Zylinder mit einem Radius von 3 Längeneinheiten und eine mit der z-Achse zusammenfallende Zylinderachse, dann ist diese Punktmenge (Zylinder) invariant bezüglich der Rotation um und der Verschiebung längs der z-Achse. Die Automorphismengruppe Aut(S) wird durch die 2-parametrige Familie von Abbildungsmatrizen, also allen Kombinationen von Rotationen um und Translationen längs der z-Achse, repräsentiert.

Das Beispiel verdeutlicht den engen Zusammenhang zwischen geometrischen Objekten mit Symmetrieeigenschaften und Untergruppen der Gruppe der Starrkörpertransformation. Eine Klassifizierung von Symmetrien geometrischer Objekte hängt somit mit der Klassifizierung der Gruppe der Starrkörpertransformation zusammen.

Lie-Gruppen und Symmetrieklassen

Der vorgenannte Vergleich hat gezeigt: Weist ein geometrisches Objekt (Punktmenge S) eine Symmetrie auf, dann findet sich eine Untergruppe der Gruppe der Starrkörpertransformation welche dieses geometrische Objekt (Punktmenge S) auf sich selbst abbildet, d. h. eine Automorphismengruppe Aut(S). Für eine Klassifizierung von Symmetrien geometrischer Objekte müssen somit innerhalb der Gruppe SE(3) der Starrkörpertransfomation die zusammenhängenden Lie-Untergruppen einer genaueren Betrachtung unterzogen werden. Insgesamt ergeben sich aus SE(3) im euklidischen Raum 12 Untergruppen, welche die Eigenschaften einer Lie-Gruppe erfüllen. Weist also eine Punktmenge S Symmetrieeigenschaften auf, dann muss diese aus einer oder mehreren der 12 Lie-Untergruppen kommen. Gesucht werden also die Automorphismengruppen Aut₀(S) aus den zusammenhängenden Lie-Untergruppen der Gruppe der Starrkörpertransformation. Eine genauere Untersuchung [1] zeigt, dass sieben dieser Lie-Untergruppen eine Punktmenge S auf sich selbst abbildet, also Automorphismengruppen darstellen. Sie bilden sieben Symmetrieklassen (in ISO 5459:2011 auch als „Invarianzklassen“ bezeichnet) für räumliche geometrische Objekte bzw. drei Symmetrieklassen für eben geometrische Objekte.

• Die erste Spalte in Bild 6 enthält die Benennung der einzelnen Symmetrieklassen und die zweite Spalte ihre Bezeichnung nach ISO 17450-1.

• Die dritte Spalte kennzeichnet die Untergruppe der Gruppe der Starrkörpertransformation, die eine Automorphismengruppe bildet (für welche also eine Punktmenge S dieser Symmetrieklasse auf sich selbst abgebildet wird, d. h. invariant bleibt).

• Die vierte Spalte zeigt die Dimension der jeweiligen Automorphismengruppe.

• In der fünften Spalte sind Beispiele für geometrische Objekte (Punktmengen S) der einzelnen Symmetrieklassen dargestellt. Bei den Punktmengen muss es sich dabei weder um Flächen handeln, noch müssen die geometrischen Objekte zusammenhängend sein (z. B. bei der Bildung eines gemeinsamen Bezugs).

• In der sechsten Spalte sind für jede der drei bzw. sieben Symmetrieklassen einfache geometrische Elemente (Punkt, Gerade, Ebene und Schraubenlinie) bzw. Tupel aus diesen einfachen geometrischen Elementen zusammengestellt, die zu derselben Automorphismengruppe wie jede andere Punktmenge S aus dieser Klasse gehören (zwischen den geometrischen Elementen und den geometrischen Transformationen der entsprechenden Klassen existiert ein Automorphismus). In den GPS-Normen der ISO (z. B. ISO 5459 oder ISO 17450-1) werden diese einfachen geometrischen Elemente als Situationselemente bezeichnet.

Praktische Bedeutung und Ausblick

Teil 2 dieser Serie stellt eine allgemeine Theorie zur relativen Anordnung geometrischer Objekte, insbesondere die Reduktion auf deren Situationselemente, vor.

Teil 3 zeigt schließlich die praktische Anwendung dieser elementaren Grundlagen zur Beschreibung funktioneller Anforderungen mit Hilfe von Richtungs- und Ortsspezifikationen.

Für weiterführende und vertiefende Informationen zum Thema sei u. a. auf die nachfolgende Literatur hingewiesen:

[1] Srinivasan, V. (2004). Theory of Dimensioning. New York, Basel: Marcel Dekker.

[2] O’Connor, M.A., Srinivasan, V. (1996). IBM Research Report - Connected Lie and Symmetry Subgroups of the Rigid Motions: Foundations and Classification. IBM T.J. Watson Research Center.

GPS-Normen

Wie Festo die Umsetzung der GPS-Normen eingeführt hat

* Prof. Dr.-Ing. Volker Läpple ist Leiter des Steinbeis-Beratungszentrums Konstruktion. Werkstoffe. Normung., Schorndorf

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