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Konstruktion Elastische Verformung von Radkörpern berechnen

Autor / Redakteur: Markus Raabe / Ute Drescher

Die neue Version der Mesys Wellensystemberechnung erlaubt nun auch die Kopplung der Verformung von Oberflächen für Verzahnungen und Wälzlager. Die Verformung eines Gehäuses führt dann zu Verformungen von Lagerringen und von Radkörpern von Zahnrädern.

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Das Bild zeigt die Deformationen in einer Planetenstufe mit 3D-elastischem Planetenträger, Planet und Hohlrad.
Das Bild zeigt die Deformationen in einer Planetenstufe mit 3D-elastischem Planetenträger, Planet und Hohlrad.
(Bild: Mesys)

Verzahnungskräfte führen zu Verformungen von Radkörpern. Das wiederum beeinflusst die Lastverteilung auf der Flankenlinie, wenn der Radkörper nicht gleichmäßig verformt wird. Das Beispiel einer einfachen Welle zeigt im Folgenden den Einfluss der Radkörperverformungen auf die Linienlastverteilung von Stirnrädern.

Das Bild zeigt die Deformationen in einer Planetenstufe mit 3D-elastischem Planetenträger, Planet und Hohlrad.
Das Bild zeigt die Deformationen in einer Planetenstufe mit 3D-elastischem Planetenträger, Planet und Hohlrad.
(Bild: Mesys)

Das Berechnungsbeispiel ist eine Welle mit zwei starren Stützen, einmal mit zentrischem Zahnrad und einmal mit einem Versatz für das Zahnrad.

In ISO 6336-1 Abschnitt 7.4.3.2 wird vorgeschlagen, den mittleren Durchmesser von Kopf- und Fußkreis für die Berechnung der Biegeverformungen zu verwenden und den Fußkreisdurchmesser plus 0.4*Modul für Torsionsverformungen. Hier wird ein gerundeter Wert von 48 mm dazwischen verwendet (z = 25, mn = 2). In Abschnitt 7.4.3.3 gibt die Norm noch an, dass für die Versteifung der Welle durch Verzahnungen oder Verbindungen mit Pressitz ein mittlerer Durchmesser von Bohrungsdurchmesser und Nabendurchmesser verwendet werden kann. Dieser mittlere Durchmesser sollte nur für die Versteifung der Welle verwendet werden und nicht für die elastische Verformung von Radkörpern.

Die folgen Fälle werden betrachtet:

  • Berechnung mit Balkenmodell: Der Wellendurchmesser im Bereich der Verzahnung wird auf einen Durchmesser zwischen Fuß- und Kopfkreis erhöht.
  • Berechnung mit Balkenmodell: Der Wellendurchmesser wird auf den Mittelwert von (20 + 48)/2 = 34 mm erhöht.
  • Unsymmetrischer 3D-elastischer Radkörper mit Steg links
  • 3D-elastischer Vollzylinder als Radkörper
  • 3D-elastischer Radkörper mit Steg in der Mitte

Für die Berechnung der Verformungen der Verzahnungen sind die Zahnräder im Eingriff mit einem zweiten starr gelagertem Zentralrad. Alle Beispielwellen sind mit dem Zentralrad im Eingriff und werden mit dem gleichen Drehmoment von der linken Seite belastet.

(Bild: Mesys)

Die Resultate werden für das zentrische Zahnrad und für den Fall mit Versatz in folgenden Übersichten angegeben:

Das Bild zeigt die Resultate der Verformungsberechnung für das zentrische Zahnrad und für den Fall mit Versatz.
Das Bild zeigt die Resultate der Verformungsberechnung für das zentrische Zahnrad und für den Fall mit Versatz.
(Bild: Mesys)

Das Bild zeigt die Resultate der Verformungsberechnung für das zentrische Zahnrad und für den Fall mit Versatz.
Das Bild zeigt die Resultate der Verformungsberechnung für das zentrische Zahnrad und für den Fall mit Versatz.
(Bild: Mesys)

Die maximale Wellendurchbiegung wird jeweils für die innere Welle angegeben. Das Verhältnis wmax/wavg ist ähnlich dem Breitenlastfaktor des Radpaares, allerdings sind nur lastabhängige Effekte berücksichtigt und kein Einfluss von Toleranzen. Zusätzliche Herstelltoleranzen oder Nachgiebigkeiten der Lager würden zu grösseren Breitenlastfaktoren führen.

Fall 1 und 4 verwenden beide einen Vollzylinder als Radkörper. Die Wellendurchbiegung im Fall 4 ist grösser als bei Fall 1, allerdings sind die Flankenlinienverformungen in Fall 4 kleiner als bei Fall 1. Der Grund ist, dass sich die Welle im Radkörper verformen kann. Allgemein ist ein Balkenmodell zu steif im Fall von Querschnittsänderungen. Das 3D-Volumenmodell berücksichtigt die Spannungsverteilung automatisch an der Stelle von Querschnittsveränderungen, ohne dass versteifende Durchmesser oder Kegelwinkel geschätzt werden müssen.

Fall 2 mit einem mittleren Durchmesser für den Radkörper ist nicht sinnvoll für die Berechnung von Flankenliniendeformationen, wie der Vergleich mit Fall 4 und 5 zeigt. Bei einem Pressverband zwischen Welle und Radkörper wird die Welle weniger stark versteift, wie auch in Fall 5, wo keine Versteifung erfolgt. Trotzdem ergibt sich in Fall 5 eine sehr kleine Verformung der Flankenlinie. Das Berechnungsmodell mit dem mittleren Durchmesser ist nur sinnvoll, wenn die Biegelinie der Welle das Ziel der Berechnung ist. Die Durchbiegung in Fall 2 nähert sich auch Fall 4 an, während das für die Flankenlinienverformungen nicht der Fall ist.

Im Vergleich von Fall 4 und 5 erkennt man in der Lastverteilung den kleinen Einfluss des Torsionsmomentes. Während in Fall 4 mit dem Vollzylinder das Drehmoment von links wirkt, geben bei Stegrad die Außenseiten durch Torsion und Biegung etwas nach. Das wirkt wie eine kleine Balligkeit.

Der Fall 3 zeigt eine grosse Flankenlinienabweichung durch das Verkippen. Der Hauptgrund ist hier nicht die Verformung des Radkörpers selbst, sondern die Kopplung an der Welle an einer Stelle mit großem Neigungswinkel. Der Neigungswinkel der Welle und die Verformung des Radkörpers tragen beide zu den gesamten Flankenlinienabweichungen bei, während bei den anderen Fällen ein kleiner Neigungswinkel der Welle wirksam wird.

Mit einem detaillierterem Berechnungsmodell für den Radkörper können bessere Resultate sowohl für die Berechnung der Biegelinie der Welle als auch für die Flankenlinienabweichungen von Verzahnungen erzielt werden. Im Fall einer Berechnung mit einfachen Balkenelementen, sollte der Außendurchmesser des Radkörpers für die Berechnung von Flankenliniendeformationen verwendet werden. Für die Berechnung der Biegelinie der Welle kann dagegen ein kleinerer Durchmesser für den Radkörper verwendet werden, der besser zur Wellensteifigkeit passt.

Nach einer einmaligen statischen Reduktion des Radkörpers, die hier etwa 1 min dauert, benötigt die Berechnung nur Sekunden, wie für eine Berechnung mit Balkenelementen. Der einzige Nachteil der 3D-elastischen Bauteile ist eine Vergrößerung der gespeicherten Berechnungsdateien.

In diesen Beispielen wurden keine Verzahnungskorrekturen verwendet, um den Effekt der Verformungen auf die Linienlastverteilungen zu zeigen. Selbstverständlich lässt sich die Berechnung auch mit Verzahnungskorrekturen durchführen. (ud)

Eine Video-Anleitung zur Nutzung DXF-Importes in der Mesys Wellenberechnung des Autoren finden Sie hier.

* Markus Raabe, Mesys AG, Zürich.

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