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Denkwerkzeuge der Natur Die Seelenverwandtschaft von Viertelkreiskerbe und Zugdreieckskontur
Die Viertelkreiskerbe lebt weiter: Der einfachste Kurvenfit der Zugdreieckskontur ist ein Brüderchen der Viertelkreiskontur, wie Prof. Mattheck und seine Kollegen hier zeigen.
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Die Kontur der Zugdreiecke ist mittlerweile eine in der Industrie weit verbreitete Kerbform zur Vermeidung gefährlicher Kerbspannungen und Bestandteil der DIN ISO 18459 [1]. Für alle rechtschaffenen Konstrukteure, die ihrer Viertelkreiskerbe nachtrauern, zeigen wir hier, dass der einfachste Kurvenfit der Zugdreieckskontur gleichsam ein Brüderchen ihrer zu früh betrauerten Viertelkreiskontur ist. Die maximale Viertelkreiskerbe im Elefantenformat lebt in den Zugdreiecken weiter.
Abb. 1 zeigt die mit Zugdreiecken ausgerundete Kerbe und einen Zwergradius am unteren Ende, den der naturgemäß gewissenhafte Konstrukteur lieber hat als eine theoretisch scharfe Ecke, auch wenn es diese fertigungsbedingt so scharf gar nicht gibt (Abb. 1a). Man beachte die Zugrichtung!
Die Ecken zwischen den geraden Abschnitten in der Kontur der Zugdreiecke kann man einzeln ausrunden oder die Kontur als Ganzes z.B. durch die Tangenskurve ersetzen. Die einfachste Kurve ist jedoch ein Kreisbogensegment (Abb. 1b).
Wie die Elefantenkerbe entsteht
Stellt sich nun die verschämte Frage, was passiert, wenn man den Kreisbogen nach unten verlängert bis er horizontal in den Rand einer passend dimensionierten Balkenschulter einläuft (Abb. 2): Das ergäbe die größtmögliche Viertelkreiskerbe für den vorgegebenen Breitensprung, die Elefantenkerbe.
Simulation zeigt Spannungsverläufe
Mittels FEM-Analysen (linear-elastisch, ESZ) mit unterschiedlichen Kerbformen und -größen wurden die Spannungsverläufe entlang der Kerbkontur von Plattenschultern ermittelt. Die gestrichelten Linien zeigen den Spannungsverlauf des Kreissegmentes, die durchgezogen Linien gehören zu den Viertelkreis-Elefantenkerben. Man erkennt, dass Schultern mit maximalem Viertelkreisradius und Kreissegmentkerbe in Bereichen, wo sie deckungsgleich sind, fast identische Spannungsverläufe haben.
Abweichungen entstehen beim 45°-Kreissegment erst am Ende des großen Radius, im Bereich des Zwergradius, wo die Spannungen etwas ansteigen, um dann in der (Faulpelz-)Ecke der Schulter rapide abzufallen. Außerdem ist ein hinreichend großer Kerbradius nötig, um die Spannungsspitze abzubauen, wie Abb. 3 zeigt.
Fazit
Fittet man die Kontur der Zugdreiecke durch ein Kreisbogensegment, so gleichen die berechneten Spannungsverläufe in deckungsgleichen Bereichen denen einer maximal möglichen Vierteilkreiskerbe mit gleichem Radius und gleichem Kreismittelpunkt, wenn diese im schlanken Bereich der Plattenschulter tangential und in deren dicken Bereich rechtwinklig einläuft.
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Berechnung
* I. Tesari, C. Mattheck, K. Bethge, KIT Karlsruher Institut für Technologie Institut für Angewandte Materialien 76021 Karlsruhe
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