FEM für CAD

Konstruktionsbegleitende Berechnung FEM für CAD

16.10.2008Redakteur: Karl-Ullrich Höltkemeier

konstruktiopnspraxis-Serie für Konstrukteure, mit Fallbeispielen aus der Praxis der konstruktionsbegleitenden Berechnung – Teil 1 Grundlagen des FEM

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Die traditionelle Produktentwicklung, bei der das Verhalten von Bauteilen erst am Prototypen verifiziert wird, ist durch immer kürzere Entwicklungszeiten mit wachsenden Risiken behaftet. Der Bau und die Beschaffung von Prototypen ist zeitaufwändig und darüber gewonnene Erkenntnisse z. B. über die Lebensdauer eines Bauteils liegen erst sehr spät vor. Die Überprüfung der Änderungen erfordert zudem oft den Bau eines neuen Prototypen.

Um bereits während der Entwicklung von Bauteilen einen Einblick in das physikalische Verhalten zu bekommen, setzen viele Entwickler die Finite-Elemente-Methode FEM ein. Sie erlaubt es, mechanische, thermische, elektrische, magnetische oder strömungsmechanische Phänomene an einem rechnerinternen Modell – dem virtuellen Prototpyen – zu untersuchen und zu optimieren. Konstruktive Varianten lassen sich schnell vergleichen und das Design schon frühzeitig in die richtige Richtung entwickeln.

Die Grundidee der Finite- Elemente-Methode

Die klassische Methode, Bauteile über geschlossene Lösungen zu berechnen, lässt sich für einfache Strukturen wie Wellen, Platten oder Balken bereits mit geringem Aufwand durchführen. Standardwerke wie Dubbel oder Hütte liefern für eine begrenzte Zahl von Anwendungsfällen Formeln für die Durchbiegung und Spannungen von typischen Basis-Strukturen.

Bei komplexen Belastungen oder Geometrien stößt diese Vorgehensweise jedoch recht schnell an ihre Grenzen. Die Grundidee der Finite- Elemente-Methode sieht vor, statt einer komplexen Funktion für die Gesamtstruktur mehrere einfache Funktionen für einzelne Teilbereiche zu verwenden. Die einzelnen Teilbereiche – Elemente genannt - sind berechenbar und die Teil-Ergebnisse werden zur Gesamtlösung zusammengesetzt.

Da die Zahl der Teilbereiche endlich ist, leitet sich aus diesem Vorgehen der Name Finite-Elemente-Methode oder kurz: FEM ab. Das Zerteilen des Kontinuums in die Elemente nennt man Vernetzen oder Diskretisieren. Die einzelnen Elemente sind über Knoten an den Ecken und ggf. auf den Elementkanten verbunden.

So funktioniert die Berechnung

Für die Berechnung der Statik sieht die Grundgleichung wie folgt aus:

F=K*u (F: Kraft, K. Steifigkeit, u: Verschiebung, Verformung).

Diese Gleichung kennt jeder Konstrukteur als Federgleichung. In der FEM kommt diese Gleichung mehrfach zum Einsatz, da für jeden Knoten eine Verschiebung in x, y, z, d.h. 3 Freiheitsgrade, berechnet werden müssen, so dass sich ein Gleichungssystem ergibt:

((FORMEL einfügen))

Durch iterative oder direkte Gleichungslöser (man spricht auch von Solvern) wird als primäres Ergebnis die Verschiebung der einzelnen Knoten errechnet. Um daraus die Spannungen zu erhalten, wird ein Materialgesetz verwendet, z. B. das Hook’sche Gesetz σ=ε*E, das den linear-elastischen Bereich der Spannungs-Dehnungs-Kurve eines Stahls beschreiben kann. Dieses Materialgesetz basiert auf der Dehnung ε, die iIhrerseits abgeleitet ist aus den Verschiebungen.

Das ist von hoher praktischer Bedeutung, da das Ableiten zu einem Verlust an Genauigkeit führt, was an folgendem Beispiel zu sehen ist: Der Spannungsverlauf an einem gekerbten Flachstab soll mit FEM berechnet werden. Verwendet man Elemente mit einer linearen Funktion für die Verschiebung, sind die Spannungen innerhalb eines Elementes konstant.

Mit 3 Elementen über den Querschnitt ergibt sich eine sehr grobe Spannungsverteilung (rot), die den realen Verlauf und vor allem den Maximalwert sehr ungenau abbildet. Wird statt der linearen Ansatzfunktion eine quadratische verwendet, kann jedes Element einen linearen Spannungsverlauf beschreiben (blau). Auf diese Weise wird sowohl der Verlauf als auch der Maximalwert der Spannungen deutlich besser.

Eine weitere Genauigkeitssteigerung kann auf zwei möglichen Wegen erreicht werden

a) die Elemente werden in Bereichen starker Gradienten verkleinert (h-Methode)

b) der Polynomgrad der Ansatzfunktion wird erhöht (p-Methode)

Da die h-Methode eine hohe Performance aufweist und universell einsetzbar ist (Nichtlinearitäten, transiente Dynamik, Strömung, Magnetfeld) basiert die Mehrheit der FEM-Analysen auf diesem Verfahren.

Nach Möglichkeit Elemente mit quadratischer Ansatzfunktion verwenden

Für die praktische Anwendung ergibt sich aus dieser Betrachtung, dass nach Möglichkeit Elemente mit quadratischer Ansatzfunktion verwendet werden sollten. Darüber hinaus ist eine lokale Netzverdichtung im Bereich einer Spannungsauswertung erforderlich. Moderne FE-Systeme stellen dem Anwender Funktionen zur Verfügung, um manuell an bestimmten Positionen, Eckpunkten, Linen, Flächen oder Körpern Netzverfeinerungen zu definieren.

Neben der manuellen Methode, die dem Anwender volle Kontrolle über Vernetzung gibt, steht für den sporadischen Anwender mit der adaptiven Vernetzung ein Verfahren zur Verfügung, bei dem das Netz automatisch an den erforderlichen Stellen so weit verfeinert wird, bis eine einstellbare Ergebnisgüte erreicht ist.

Im folgenden Beispiel zeigt der Verlauf der Spannungen mit zunehmender Netzdichte eine Konvergenz. Die letzte Änderung des Ergebnisses betrug weniger als 1%, damit ist das Ergebnis kaum mehr von der Vernetzung abhängig und die Netzgüte ohne manuellen Eingriff des Anwenders sichergestellt.

Der Konstrukteur konzentriert sich stärker auf das physikalische Problem

Dieser Automatismus unterstützt insbesondere sporadische Anwender, wie sie für konstruktionsbegleitende Berechnungen typisch sind. Der Konstrukteur kann sich durch diese Hilfestellung stärker auf das physikalische Problem konzentrieren. Neben der numerischen Berechnungsgenauigkeit, die auf der Art und Feinheit der Vernetzung basiert, spielt die Modell-Genauigkeit eine entscheidende Rolle.

Darunter versteht man die Ergebnisgüte, mit der die Idealisierungen, die in jedem Berechnungsmodell stecken, die Realität widerspiegeln können. Die Modell-Genauigkeit wird von den Entscheidungen bestimmt, die der Anwender bei der Definition seiner Lasten, Lagerbedingungen oder Materialeigenschaften trifft, aber auch von den Bauteilen und physikalischen Effekten, die in der jeweiligen Berechnung berücksichtigt werden. Diesem wichtigen Aspekt widmet sich der sechste und abschließende Teil dieser Serie.

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