Berechnungssoftware Automatisierte Geometrie-Erzeugung ei Zahnrädern im CAD

Die modernen CAD-Systeme bieten eine Fülle von Funktionen zur Erstellung auch komplexer Geometrien. Doch nicht immer ist dabei eine manuelle Erstellung wirtschaftlich. Anhand eines Zahnrades in CATIA soll hier gezeigt werden, wie effektiv die Geometrieerzeugung mit einem Anwendungsprogramm ist.

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Die modernen CAD-Systeme bieten eine Fülle von Funktionen zur Erstellung auch komplexer Geometrien. Es gibt allerdings auch Geometrien, bei denen eine manuelle Erstellung sehr mühsam und nicht effektiv ist. Um solche Körper oder Flächen trotzdem wirtschaftlich zu generieren, lohnt sich oftmals der Einsatz von selbst erstellten Anwendungsprogrammen. Allerdings schrecken selbst erfahrene CAD-Anwender meist vor dieser Möglichkeit zurück. Programmierung scheint vielen eine zu schwer erlernbare Disziplin.

Anhand eines Zahnrades in CATIA soll hier gezeigt werden, wie effektiv die Geometrieerzeugung mit einem Anwendungsprogramm ist. Besonders durch die VBA (Visual Basic for Applications)-Unterstützung vieler CAD-Systeme wird der Einstieg für Programmier-Anfänger erleichtert. Bei CAD-Systemen, die einen Makro-Recorder auf Basis von Visual-Basic verwenden, kann sich der Anwender bequem die Befehle anzeigen lassen, die zur Erzeugung einer bestimmten Geometrie verwendet werden. So kann man sich auch ohne Vorkenntnisse der Befehle der API (Application Program Interface, Programmierschnittstelle) des jeweiligen CAD-Systems Schritt für Schritt einarbeiten.

Zahnräder sind wohl das meist verwendete Symbol in der Technik.

Das Zahnrad steht für reibungslose Abläufe und Funktionieren schlechthin. Selbst einige CAD-Systeme verwenden Zahnräder als Ikone für Einzelteile oder Baugruppen. Aber wenn man dann im CAD-System unter den Funktionen eine Zahnrad-Erstellung sucht, wird man in den seltensten Fällen fündig. In der Tat ist die Oberfläche eines schrägverzahnten Strinrades mit Evolventenprofil keine ganz triviale Angelegenheit. Bild 1 stellt die Geometrie des Flankenprofils dar. Der erste und der letzte Abschnitt bestehen aus dem Fuß- und dem Kopfkreis des Rades. Der zweite Bereich wird durch die Fußausrundung und der dritte durch die Evolvente gebildet.

Wie bei jeder Körpermodellierung beginnt man auch beim Zahnrad mit einer Skizze. Dabei wird nur der halbe Zahn im Profil erstellt, die übrige Geometrie wird durch Spiegelung und Vervielfältigung erzeugt.

Der Kopfkreis und der Fußkreis lassen sich recht einfach in der Skizze herstellen. Die Evolventenkurve ist über die so genannte Involutfunktion beschrieben. Dadurch kann man X- und Y-Koordinaten für Punkte auf dieser Kurve ausrechnen und durch die Punkteschar einen Spline erzeugen. Schon mit 40-50 Punkten kann man so die Evolvente bis auf wenige Mikrometer annähern. Bei der Fußausrundung handelt es sich um eine Hüllkurve. Sie entsteht durch die Bewegung des Kopfradius der Zahnstange beim Abrollen auf dem Teilkreis.

Geometrische Berechnung erforderlich

Leider stellt das CAD-System keinen Befehl für die Erzeugung einer Hüllkurve bereit. Deshalb muss dies durch „geometrische Berechnung“ geschehen. Die Hüllkurve verläuft immer tangential zu den Kreisen. Dies wird so genutzt, dass für 40-50 Stellungen der Wälzgeraden auf dem Teilkreis zwei Kreise und eine Tangente an die Kreise erzeugt werden. Die Berührpunkte der Tangente an die Kreise werden gespeichert. Die Fußausrundung wird dann in Form eines Splines durch diese Berührpunkte dargestellt. Bild 2 zeigt das Ergebnis.

Für geradverzahnte Stirnräder kann dann die Skizze mit dem halben Zahnprofil zum Körper extrudiert, gespiegelt und entsprechend der Zähnezahl in ein Kreismuster überführt werden. Bei schrägverzahnten Stirnrädern entsteht die Zahnform durch eine schraubenartige Extrusion. Dazu müssen zwei Führungskurven vorhanden sein, zum einen die Achse des Rades, zum anderen eine Schraubenlinie (Helix) am Fußkreis entsprechend des Schrägungswinkels. Bild 3 zeigt einen so entstandenen halben Zahn.

Die andere Zahnhälfte kann genauso mit der gespiegelten Skizze entstehen. Bild 4 zeigt das mit einem Kreismuster erzeugte vollständige Zahnrad und die Programmoberfläche.

Genauere FEM-Berechnungen

Zur Prüfung des Zahneingriffs können zwei Zahnräder in einer Baugruppe gepaart werden. Catia V5 bietet mit der Funktion „Bandanalyse“ die Möglichkeit die Berührlinien darzustellen. Die rot markierten Bereiche in Bild 5 stellen Abstände zwischen den Zahnflanken dar, die unterhalb von 0,02 mm liegen, grün unterhalb von 0,1 mm. Kombiniert man diese Analyse mit einer kinematischen Simulation, kann sogar die Bewegung der Berührlinien animiert werden.

Der so entstandene Algorithmus des Programms hat sich als besonders stabil erwiesen. Es lassen sich sogar extreme Geometrien wie z.B. Zähnezahl 3 erzeugen, siehe Bild 6.

Die so gewonnenen Zahnradgeometrien können weiteren CAE-Anwendungen zur Verfügung gestellt werden. Ein weiteres Beispiel könnten Verformungsberechnungen für dünne Ritzelwellen sein. Durch die korrekte Berücksichtigung der Verzahnungsgeometrie ist die FEM-Berechnung genauer, als mit Ersatzdurchmessern.

Prof. Dr.-Ing. B. Schwarze, Fachhochschule Osnabrück, Fakultät Ingenieurwissenschaften und Informatik

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