Definition Was ist eigentlich FEM?

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Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein numerisches Verfahren, das unter anderem im Rahmen von Simulationen zur gezielten Strukturanalyse und -optimierung eingesetzt wird. Wie das funktioniert.

Die Methode der Finiten Elemente, auch als FEA für Finite-Elemente-Analyse bezeichnet, ist ein numerisches Verfahren, bei dem der zu untersuchende Bereich in eine endliche, also finite, Anzahl von Elementen unterteilt wird. Durch entsprechende Algorithmen lässt sich das Gesamtverhalten der Struktur aus dem Verhalten der einzelnen Subbereiche berechnen. Dabei sind die Einsatzgebiete der Methode vielfältig. Die Antwort auf die Frage, was FEM ist, kann daher unterschiedlich ausfallen:

• Für den Bauingenieur ist die FE-Methode ein computergestütztes Berechnungsverfahren, mit dem er beispielsweise ermitteln kann, ob ein Staudamm dem Wasserdruck standhält.

• Ein Maschinenbauingenieur berechnet mit einem FE-Programm, ob ein Bauteil, eine Komponente oder ein System den einwirkenden Belastungen standhält.

• Ein Mathematiker versteht unter FEM allgemein ein numerisches Näherungsverfahren zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen unter beliebig variierbaren Randbedingungen.

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Wie die FE-Methode funktioniert

Bei der FEM werden kleine Bereiche eines Bauteils oder eines Berechnungsgebietes dazu genutzt, um das physikalische Verhalten des Bauteils abzubilden. Durch diese Diskretisierung wird ein Körper und dessen Verhalten, z. B. unter Einwirkung von Kräften, Wärme oder Schwingungen, berechenbar gemacht. Die einzelnen Elemente sind durch Knoten definiert.

Für jedes dieser diskreten Elemente werden einfache Ansatzfunktionen gewählt und eingesetzt, die das physikalische Verhalten abbilden. Das physikalische Verhalten des Gesamtkörpers wird dadurch nachgebildet, wie diese Elemente auf die Kräfte, Lasten und Randbedingungen reagieren und wie sich Lasten und Reaktionen beim Übergang von einem Element ins benachbarte fortpflanzen durch ganz bestimmte problemabhängige Stetigkeitsbedingungen, die die Ansatzfunktionen erfüllen müssen.

Die Finite-Elemente-Methode erreicht eine angenäherte Lösung der Differentialgleichung, indem die Differenzenquotienten verwendet und numerisch ausgewertet werden. Diese Vorgehensweise beinhaltet allerdings Näherungen. Um das Verfahren sinnvoll einsetzen zu können, muss der Berechnungsingenieur Kenntnisse darüber haben, wie sein Bauteil belastet wird und welche Effekte dabei auftreten können.

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Ablauf einer FE-Berechnung

Der Ablauf einer Berechnung basierend auf der Finite-Elemente-Methode erfolgt in drei Schritten:

• Beim Preprocessing wird das Modell aufbereitet. Bei der Vernetzung (auch Meshing) wird die Bauteiloberfläche in finite Elemente geteilt. Dabei stehen Drei- und Vierecke, Tetraeder, Quader oder auch Lagrange-Elemente zur Verfügung. Die Feinheit der Unterteilung hat auf der einen Seite maßgeblichen Einfluss auf die Genauigkeit der Resultate der Näherungsrechnung; auf der anderen Seite steigt aber mit der Dichte des Netzes auch die benötigte Rechenzeit. Anschließend wird das Material zugewiesen, da für die mechanische Festigkeitsanalyse das Materialverhalten auf äußere Belastungen ausschlaggebend ist. Schließlich werden die Randbedingungen wie Belastungen definiert.

• Der zweite Schritt ist die Lösung der Gleichungen. Ein Softwareprogramm für mathematische Probleme, der sogenannte Solver, löst das Gleichungssystem, das hinter einem FEM-Modell steckt. Gleichungssysteme mit 10 Millionen Gleichungen und mehr sind dabei nicht undenkbar und auch nicht unlösbar. Das erste Ergebnis umfasst die Verschiebungen der einzelnen Knoten. Anschließend können Verzerrungen, Spannungen sowie Knotenkräfte berechnet werden. Solver stehen für mechanische, thermische, elektrische oder magnetische Größen sowie Kombinationen zur Verfügung.

• Im Postprocessing erfolgt die Auswertung der Ergebnisse. Aufgrund der Vielzahl an Ergebnissen, die durch die meist hohe Elementanzahl verursacht wird, ist die graphische Darstellung der Ergebnisgrößen weitverbreitet. Dafür werden Farbplots verwendet, die visuell einen schnellen Überblick über die Ergebnisse vermitteln. Außerdem werden im Postprocessing oft noch zusätzliche Ergebnisse erzeugt. Ein Beispiel sind Vergleichsspannungen.

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Die Geschichte der Finite-Elemente-Methode

Die ersten Grundlagen lassen sich auf die Arbeiten von A. Hrennikoff (1941) und R. Courant (1943) zurückführen, die beide in ihren Arbeiten einen kontinuierlichen Bereich in eine Menge diskreter Unterbereiche aufteilten. Der Ausdruck Finite-Elemente-Methode wurde erstmals von Ray William Clough im Jahre 1960 genutzt. Er hat die ersten FEM-Simulationen von Tragflächen eines Boing-Flugzeuges durchgeführt.

Wie so oft war der wachsende Bedarf an Analysen in Luft- und Raumfahrt Treiber der Entwicklung. Inzwischen ist die Methode in vielen Bereichen etabliert. Die meisten CAE-Berechnungen verwenden FEM, denn verglichen mit der Finite-Differenzen-Methode kann FEM größere Modelle verwerten und ist weniger zeitaufwändig. Da ein FEM-Modell leicht zu ändern ist, können damit schnell Varianten ausprobiert werden. Das führt zum Bau immer weniger physischer Prototypen und Tests.

Wo FEM eingesetzt wird

Im weiteren Verlauf der Forschung wurde die Finite-Elemente-Methode immer weiter verallgemeinert und kann in vielen physikalischen Problemstellungen verwendet werden. Mithilfe der FEM können Ingenieure einfache mechanische Verformungen, Rotationen, Vibrationen, etc. aber auch Wechselwirkungen von Festkörpern und Fluiden unter den verschiedensten physikalischen Bedingungen - auch gekoppelt - simulieren.

Ein Haupteinsatzgebiet der Methode ist die Produktentwicklung, wobei unter anderem mechanische Festigkeitsberechnungen einzelner Komponenten oder kompletter Strukturen berechnet werden, um aufwändige Tests und teure Prototypen zu sparen.

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