Geometrische Produktspezifikationen ISO GPS – Geometrische Toleranzen richtig anwenden

Autor / Redakteur: Prof. Dr.-Ing. Volker Läpple / Dipl.-Ing. (FH) Monika Zwettler

In unserer dreiteiligen Serie beleuchten wir „Symmetrieklassen“ und ihre Bedeutung für die Richtungs- und Ortstolerierung. Teil 2 erläutert die Reklassifizierung sowie die grundlegende Bedeutung von Situationselementen.

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Das GPS-Normensystem der ISO ist ein auf mathematisch beschreibbaren Grundsätzen und Modellen basierendes, generisch aufgebautes und medienunabhängiges Regelwerk. Es dient der Beschreibung und Inspektion der Mikro- und Makrogeometrie technischer Produkte.
Das GPS-Normensystem der ISO ist ein auf mathematisch beschreibbaren Grundsätzen und Modellen basierendes, generisch aufgebautes und medienunabhängiges Regelwerk. Es dient der Beschreibung und Inspektion der Mikro- und Makrogeometrie technischer Produkte.
(Bild: robsonphoto-stock.adobe.com/Volker Läpple)

Alle räumlichen geometrischen Objekte können sieben Symmetrieklassen und alle ebenen geometrischen Objekte drei Symmetrieklassen zugeordnet werden, eine Tatsache, die bereits in Teil 1 dieser dreiteiligen Artikelserie ausführlich erläutert wurde. Diese Klassifizierung ist – unabhängig vom zugrundeliegenden Normensystem – von grundlegender Bedeutung für das Verständnis der Logik des geometrischen Tolerierens im Allgemeinen sowie der Richtungs- und Ortstolerierung im Besonderen.

Geometrisches Tolerieren, insbesondere die Richtungs- und Ortstolerierung, hängt eng mit der relativen Anordnung geometrischer Objekte bzw. deren Situationselementen oder Kollektionen dieser Objekte zusammen. Bei den geometrischen Objekten handelt es sich dabei in der Regel um Punktmengen in Form von ebenen oder räumlichen Kurven oder Flächen.

Diese relativ zueinander angeordneten Kurven bzw. Flächen sind bei der Richtungs- bzw. Ortstolerierung

  • auf der einen Seite das tolerierte (ideale) integrale oder zentrale Nenngeometrieelement (Referenzgeometrieelement) oder Gruppen aus diesen Geometrieelementen und
  • auf der anderen Seite die (idealen) assoziierten Linien bzw. Flächen, die bei der Bildung eines Einzelbezugs, eines gemeinsamen Bezugs oder eines Bezugssystems unter Berücksichtigung einer Zielfunktion (z. B. Minimierung des L∞-Norm-Abstands) und diverser Nebenbedingungen (Material, intrinsisches Maßmerkmal, Richtung und Ort) an das/die nicht-ideale(n) Bezugselement(e) angepasst werden.

Hierbei treten zwei grundsätzliche Fragen auf:

  • 1. Werden beispielsweise bei der Bezugsbildung aufgrund funktioneller Anforderungen ein gemeinsamer Bezug oder ein Bezugssystem spezifiziert oder aus mehreren tolerierten Nenngeometrieelementen (Referenzgeomet-rieelementen) eine Gruppe gebildet, lässt sich die Kollektion assoziierter Flächen dann ebenfalls einer Symmetrieklasse zuordnen und welcher Symmetrieklasse gehört die Kollektion dieser Punktmengen an? Diese Frage führt zur Klassifizierung von Kollektionen von Punktmengen (Reklassifizierung).
  • 2. Zur Beschreibung und Begrenzung der zulässigen Abweichung geometrischer Elemente von ihrer idealen Richtung bzw. ihrem idealen Ort (Richtungs- und Ortstolerierung) muss die relative Anordnung dieser Objekte zueinander betrachtet werden. Zur korrekten Spezifikation (Tolerierung) ist dabei einerseits die Reduzierung auf einfache geometrische Elemente (Situationselemente) und andererseits die Kenntnis der Anzahl und der Art unabhängiger Parameter erforderlich. Dies führt auf eine allgemeine Theorie der relativen Anordnung geometrischer Objekte.

Klassifizierung von Kollektionen von Punktmengen (Reklassifizierung)

Werden beliebige geometrische Objekte beziehungsweise Punktmengen S1, S2, …, Sn kombiniert, betrachtet man also eine Kollektion (Tupel) mehrerer Punktmengen, dann kann diese ebenfalls einer der drei bzw. sieben Symmetrieklassen zugeordnet werden (Reklassifizierung). Auch für ein Tupel von Punktmengen existiert eine Automorphismengruppe, also eine Menge von geometrischen Transformationen, welches das Tupel der Punktmenge invariant lässt:

Aut(S1, S2, …, Sn) = {rϵ ℝ : r ⦁ Si = Si ∀ i }.

Um die Automorphismen einer Kollektion von Punktmengen (S1, S2, …, Sn) zu ermitteln, müssen lediglich die gemeinsamen Elemente in den Automorphismen der Komponenten des Tupels betrachtet werden, also deren Schnittmenge. Es gilt:

Aut(S1, S2, …, Sn) = ∩ {Aut(S1), Aut(S2), …, Aut(Sn)} = ∩ni=1 Aut(Si).

In Tabelle 1 ist die Zuordnung zu einer Symmetrieklasse (Klassifizierung) eines 2-Tupels (S1, S2) zweier Punktmengen zusammengestellt. Die Benennung der einzelnen Symmetrieklassen (CS, CC, CP, usw.) erfolgt nach ISO 17450-1. Die Tabelle ist symmetrisch aufgebaut, da aufgrund der Kommutativität von Aut(S1) ∩ Aut(S2) = Aut(S2) ∩ Aut(S1) die Klassifizierung von (S1, S2) identisch ist zu (S2, S1).

Tabelle 1: Zuordnung der Symmetrieklasse (Reklassifizierung) und Anzahl unabhängiger Parameter zur relativen Anordnung zweier Punktmengen. Sonderfälle, welche die Symmetrieklasse nicht verändern, sind teilweise nicht aufgeführt.
Tabelle 1: Zuordnung der Symmetrieklasse (Reklassifizierung) und Anzahl unabhängiger Parameter zur relativen Anordnung zweier Punktmengen. Sonderfälle, welche die Symmetrieklasse nicht verändern, sind teilweise nicht aufgeführt.
(Bild: Volker Läpple)

Allgemeine Theorie der relativen Anordnung geometrischer Objekte

Zur Sicherstellung der Funktionsanforderung eines Bauteils innerhalb einer Baugruppe müssen unter anderem Richtungs- und Ortsabweichungen begrenzt werden. Ein wesentliches Merkmal der Richtungs- und Ortstolerierung ist dabei die relative Anordnung geometrischer Objekte (Punktmengen) zueinander sowie die Beschreibung der zulässigen Abweichung von ihrer idealen Richtung bzw. ihrem idealen Ort. Da technische Bauteile über ihre Oberflächen miteinander in Beziehung treten, spielen insbesondere Flächen für die Beschreibung und Sicherstellung technischer (u. a. mechanischer) Funktionsanforderungen eine wesentliche Rolle.

Die bisherigen Ausführungen haben gezeigt, dass alle geometrischen Objekte bzw. Punktmengen S aber auch die Kollektion mehrerer Punktmengen (S1, S2, …, Sn) einer der drei (für ebene Objekte) bzw. sieben (für räumliche Objekte) Symmetrieklassen zugeordnet werden können (siehe Tabelle 1).

Um die Orientierung und den Ort eines beliebigen Körpers im dreidimensionalen (euklidischen) Raum vollständig zu beschreiben, sind maximal sechs voneinander unabhängige Parameter – drei Parameter für die Orientierung und drei Parameter für den Ort – erforderlich. Diese Parameter werden auch als „Freiheitsgrade“ (DOF; degrees of freedom) bezeichnet. Allgemein hat ein Körper (z. B. eine Fläche der allgemeinen Symmetrieklasse) sechs „Freiheitsgrade“, also sechs voneinander unabhängige Bewegungsmöglichkeiten. Zur eindeutigen Beschreibung der Orientierung und des Ortes des Körpers sind also sechs voneinander unabhängige Parameter (a, b, c, α, β und γ in Bild 1a) erforderlich.

Weist ein Körper allerdings Symmetrieeigenschaften auf, dann sind weniger Parameter erforderlich. Bei einer Kugel genügen beispielsweise drei (lineare) Parameter, nämlich die Ortskoordinaten ihres Mittelpunktes (a, b und c in Bild 1b). Parameter für die Orientierung sind aufgrund der Symmetrieeigenschaften bei einer Kugel nicht relevant. Eine Kugel hat dementsprechend drei „Freiheitsgrade“. Eine Ebene weist ebenfalls drei Symmetrien auf (zwei Translationen in der Ebene und eine Rotation um eine Achse senkrecht zur Ebene). Demensprechend sind ebenfalls drei voneinander unabhängige Parameter (ein linearer und zwei Winkelparameter) zur Beschreibung von Orientierung und Ort einer Ebene erforderlich (α, β und γ in Bild 1c). Eine Ebene hat dementsprechend drei „Freiheitsgrade“.

Diese einfachen Überlegungen lassen sich verallgemeinern: Für die Anzahl der Freiheitgrade nDOF eines beliebigen geometrischen Objekts (Punktmenge S) oder Kollektion von Punktmengen (S1, S2, …, Sn) gilt:

nDOF = 6 – dim(Aut0(S1, S2, …, Sn)).......................(1)

Betrachtet man in einem weiteren Schritt die Anordnung von geometrischen Objekten zueinander (relative Anordnung), wie sie unter anderem bei der Richtungs- und Ortstolerierung von Bedeutung ist, dann ist die Orientierung und der Ort einer Kollektion dieser geometrischen Objekte (sofern sie als ein Körper betrachtet werden) in Bezug auf ein stationäres Koordinatensystem nicht mehr von Bedeutung. Diese Parameter zur relativen Anordnung der Objekte ändern sich also nicht, falls sich das (gemeinsame) Objekt im Raum bewegt. Aufgrund von Symmetrieeigenschaften der jeweiligen Objekte wird dabei die Anzahl der erforderlichen, voneinander unabhängigen Parameter (die „relativen“ Freiheitsgrade nRDOF) weiter reduziert. Die maximale Anzahl an notwendigen Parametern zur allgemeinen, relativen Anordnung von zwei Punktmengen ergibt sich aus:

nRDOF = 6 + dim(Aut0(S1, S2)) - dim(Aut0(S1)) - dim (Aut0(S2)).......................(2)

Um beispielsweise eine Kugel (Punktmenge S1, Bild 1b) oder eine Ebene (S2, Bild 1c) im euklidischen Raum anzuordnen, sind jeweils drei unabhängige Parameter erforderlich (beide Objekte haben jeweils drei „Freiheitsgrade“). Für die relative Anordnung einer Kugel zu einer Ebene ist hingegen nur noch ein Parameter nRDOF = 6 + dim(Aut0(S1, S2)) - dim(Aut0(S1)) - dim (Aut0(S2)) = 6 + 1 – 3 - 3) = 1, nämlich der Abstand d zwischen Kugelmittelpunkt und Ebene erforderlich, Bild 1d (zu dim (Aut0(Si)) siehe Teil 1 der Artikelserie.

Bild 1: Notwendige Parameter zur Beschreibung von Orientierung und Ort sowie zur relativen Anordnung geometrischer Körper im euklidischen Raum in Abhängigkeit ihrer Symmetrieeigenschaften.
Bild 1: Notwendige Parameter zur Beschreibung von Orientierung und Ort sowie zur relativen Anordnung geometrischer Körper im euklidischen Raum in Abhängigkeit ihrer Symmetrieeigenschaften.
(Bild: Volker Läpple)

Die vorgenannten einfachen Überlegungen und Beispiele führen zu drei grundlegenden Theoremen:

  • 1. Theorem der Kongruenz von n-Tupeln geometrischer Objekte: Die Anordnung von geometrischen Objekten bzw. Punktmengen S1, S2, …, Sn zueinander (relative Anordnung) ist unabhängig von der Orientierung und dem Ort der Kollektion (n-Tupel) dieser Punktmengen (S1, S2, …, Sn) in Bezug auf ein stationäres Koordinatensystem.
  • 2. Theorem der „relativen Freiheitsgrade“ zwischen geometrischen Objekten: Die Anzahl der (maximal) notwendigen unabhängigen Parameter bzw. „relativen Freiheitsgrade“ nRDOF zur allgemeinen, relativen Anordnung von zwei Punktmengen S1 und S2 ergibt aus Gleichung 2 und ist in Tabelle 1 abhängig von der Symmetrieklasse der beiden Komponenten des 2-Tupels (S1, S2) zusammengestellt.
  • 3. Theorem der Ersetzung von Komponenten eines Tupels geometrischer Objekte: Das Theorem zur Kongruenz von Tupeln geometrischer Objekte bleibt auch gültig, falls die Komponenten bzw. Punktmengen eines Tupels durch Punktmengen derselben Symmetrieklasse, insbesondere durch ihre Situationselemente ersetzt werden. Dies bedeutet:
    Die relative Anordnung von geometrischen Objekten oder Kollektionen bzw. Tupel geometrischer Objekte zueinander, kann auf die Betrachtung der relativen Anordnung einfacherer geometrischer Elemente, die Situationselemente (Punkt, Gerade, Ebene oder Schraubenlinie) dieser geometrischer Objekte oder Tupel geometrischer Objekte reduziert werden.

Dieses dritte Theorem hat eine große Bedeutung unter anderem für das Verständnis der Logik der Richtungs- und Ortstolerierung und soll daher nachfolgend genauer betrachtet werden.

Logik der Richtungs- und Ortstolerierung

Geometrisches Tolerieren, insbesondere die Richtungs- und Ortstolerierung hängt eng mit der relativen Anordnung von geometrischen Objekten (bzw. deren Situationselementen) oder Kollektionen dieser Objekte zusammen. Bei den geometrischen Objekten handelt es sich dabei in der Regel um Punktmengen in Form von ebenen oder räumlichen Kurven oder Flächen.

Diese relativ zueinander angeordneten Kurven bzw. Flächen sind bei der Richtungs- bzw. Ortstolerierung auf der einen Seite das tolerierte (ideale) integrale oder zentrale Nenngeometrieelement und auf der anderen Seite die (idealen) assoziierten Linien bzw. Flächen, die bei der Bildung eines Einzelbezugs, eines gemeinsamen Bezugs oder eines Bezugssystems unter Berücksichtigung einer Zielfunktion (z. B. Minimierung des L∞-Norm-Abstands) und diverser Nebenbedingungen (Material, intrinsisches Maßmerkmal, Richtung und Ort) an das/die nicht-ideale(n) Bezugselement(e) angepasst werden.

Die relative Anordnung von geometrischen Objekten oder Kollektionen geometrischer Objekte zueinander, kann - wie oben beschrieben - auf die Betrachtung der relativen Anordnung einfacher geometrischer Elemente, wie Punkt, Gerade, Ebene oder Schraubenlinie (Situationselemente) oder deren Kombinationen reduziert werden. Diese Reduktion vereinfacht insbesondere das Verständnis für die Richtungs- und Ortstolerierung erheblich, da nicht mehr die miteinander in Beziehung stehenden Flächen bzw. die Kollektion der Flächen, sondern nur noch ihre Situationselemente betrachtet werden müssen. Vier einfache Beispiele sollen diesen Sachverhalt veranschaulichen.

  • In Bild 2a ist die nominelle Bohrungsachse parallel zum Bezug. Die assoziierte Ebene des Bezugs gehört zur ebenen Symmetrieklasse und das Situationselement ist eine Ebene (die assoziierte Ebene selbst). Das tolerierte Nenngeometrieelement ist ein Zylinder, er gehört zur zylindrischen Symmetrieklasse und sein Situationselement ist eine Gerade (es wurde in diesem Beispiel bewusst die Flächenprofilspezifikation für die Zylindermantelfläche gewählt). Um die Orientierung bzw. den Ort eines Zylinders im euklidischen Raum vollständig zu schreiben, sind aufgrund der Symmetrieeigenschaften des Zylinders, vier voneinander unabhängige Parameter erforderlich. Für die relative Anordnung zwischen den beiden Situationselementen (Ebene und Gerade) ist gemäß Tabelle 1 nur noch ein Parameter erforderlich, da auch die Ebene Symmetrieeigenschaften hat. Dieser Parameter ist in diesem Fall der Abstand zwischen Gerade und Ebene. Die relative Anzahl der „Freiheitsgrade“ (nRDOF) beträgt somit 1.
  • In Bild 2b verläuft die nominelle Bohrungsachse „schräg“ zum Bezug. Die Situationselemente sind wiederum eine Ebene (Situationselement des Bezugs) und eine Gerade (Situationselement des tolerierten Nenngeometrieelement). Da sich die Symmetrieklassen nicht verändert haben, ist für die relative Anordnung der beiden Situationselemente wiederum nur ein Parameter erforderlich, in diesem Fall der Winkel zwischen Gerade und Ebene.
  • In Bild 2c verläuft die nominelle Bohrungsachse wiederum „schräg“ zu den Seitenflächen des Bauteils. In diesem Beispiel wurde jedoch ein gemeinsamer Bezug aus zwei (nicht parallelen) Flächen gebildet. Die assoziierten Flächen des gemeinsamen Bezugs gehören zur prismatischen Symmetrieklasse und können auf ein Tupel mit den Komponenten Ebene und Gerade (Situationselemente des gemeinsamen Bezugs „A-B“) reduziert werden. Für die relative Anordnung der genannten Geometrieelemente sind gemäß Tabelle 1 nunmehr drei Parameter erforderlich: Zwei Winkel (α und β) und ein Abstand (d). Die Anzahl der relativen Freiheitsgrade beträgt dementsprechend 3.
  • Das Beispiel in Bild 2d ist identisch zum Beispiel in Bild 2c. Anstelle eines gemeinsamen Bezugs wurde lediglich ein „komplexer“ Bezug festgelegt. Da der komplexe Bezug „C“ und der gemeinsame Bezug „A-B“ derselben Symmetrieklasse angehören, sind für die relative Anordnung des Zylinders zum komplexen Bezug dieselben drei Parameter erforderlich.

Bild 2: Bestimmung der Symmetrieklasse des Bezugs, Situationselement(e) von Bezug und Referenzgeometrieelement sowie Ermittlung der relativen „Freiheitsgrade“ am Beispiel der Ortstolerierung.
Bild 2: Bestimmung der Symmetrieklasse des Bezugs, Situationselement(e) von Bezug und Referenzgeometrieelement sowie Ermittlung der relativen „Freiheitsgrade“ am Beispiel der Ortstolerierung.
(Bild: Volker Läpple)

Fazit: Die vorgenannten Ausführungen und Beispiele zeigen, dass:

  • 1. Die Kollektion von Punktmengen einer der drei bzw. sieben Symmetrieklassen zugeordnet werden können. Am Beispiel der Richtungs- und Ortstolerierung entsprechen diese Punktmengen den assoziierten Flächen bei der Bildung eines Bezugs oder der Kollektion von Referenzgeometrieelementen (tolerierten Nenngeometrieelementen) bei der Bildung einer Elementgruppe.
  • 2. Die relative Anordnung von geometrischen Objekten oder Kollektionen geometrischer Objekte zueinander (z. B. Referenzgeometrieelement zum Bezug), kann auf die Betrachtung der relativen Anordnung ihrer Situationselemente (Punkt, Gerade, Ebene, Schraubenlinie bzw. Kombinationen aus diesen einfachen Geometrieelementen) reduziert und somit die geometrischen Zusammenhänge bei der Richtungs- und Ortstolerierung deutlich vereinfacht werden. Zudem können durch diese vereinfachte Betrachtung die Art und Anzahl unabhängiger Parameter und damit die zwischen den geometrischen Objekten gegenseitig eingeschränkten Bewegungsmöglichkeiten („relative Freiheitsgrade“) auf einfache Weise identifiziert und mit den funktionellen Anforderungen abgeglichen werden.

* Prof. Dr.-Ing. Volker Läpple ist Leiter des Steinbeis-Beratungszentrums Konstruktion. Werkstoffe. Normung., Schorndorf

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